Nota Introdutória,
Lorenzen comenta da suposta "crise de fundações" na matemática. E, neste caso, parece haver mesmo uma crise para aqueles que ainda se põe num 'paradigma' formalista. Mas isto, porem, não se adequa a matemática construtiva, assim como a lógica construtiva - como o autor aponta - bem observado por Brouwer. Todo matemático, afinal, entende as declarações sobre as regras de construção. Há uma prioridade metodológica, sempre deve-se começar deste jeito. Ademais, um resumo (pretensioso) pode colocada como: as bases da matemática repousam na certeza.
[Retirado de: Synthese Vol. 12. No. 1 (mar., 1960), pp. 114-119]
Por Paul Lorenzen
Paper lido no encontro da Netherlands Association for Logic and the Philosophy of Science no dia 19 de março em Amsterdam.
O tema do presente artigo: matemática construtiva e axiomática, pertence à filosofia da matemática. Negativamente, isso significa que não tratarei de questões matemáticas específicas. Positivamente, isso significa que tentarei apresentar alguns pensamentos que vieram a mim através da reflexão sobre o que é a matemática, através da rejeição sobre o que o matemático faz e através da reflexão sobre o estado de coisas na matemática.
Gostaria de começar com a questão de saber se, atualmente, ainda há uma crise nos fundamentos da matemática. Minha resposta, que tentarei provar a seguir, é a seguinte: Não, não se pode mais dizer que há uma crise nos fundamentos da matemática nesse sentido, que atualmente nada nela poderia ser considerado como certo. Em vez disso, na minha opinião, novas fundações se destacam claramente, com base nas quais a matemática pode -- humanamente falando — descansar na certeza.
Falar de uma crise nas fundações se originou por volta da virada do século. Tendências opostas vieram a se expressar nesta crise, tendências que só aparentemente chegaram ao equilíbrio nos matemáticos clássicos da era moderna, nos quais incluo aqui principalmente os séculos XVII, XVIII e XIX. A fim de entender essas tendências mais claramente, devemos considerar, por um lado, a geometria e, por outro lado, a análise.
Em primeiro lugar, tomemos a geometria, sendo a disciplina mais antiga. Foi transmitida para a era moderna a partir dos gregos, principalmente nas obras de Euclides e Arquimedes. A geometria é uma teoria axiomática, ou seja, lida com — na terminologia moderna — um sistema de declarações (que são os "axiomas"), estabelecendo-se a tarefa de encontrar outras declarações que são derivadas dos axiomas apenas com a ajuda da lógica.
Aqui eu gostaria de deixar de considerar o fato de que, para os gregos, a aritmética, além da lógica, desempenha uma função nas declarações geométricas. Em qualquer caso, para fazer deduções a partir dos axiomas, do conteúdo dos axiomas, o significado dos predicados que neles ocorrem podem ser ignorados pelo matemático. Tornou-se assim habitual transferir tais questões para a filosofia da matemática. No que diz respeito à origem da crise nos fundamentos, é importante que, no caso da geometria, especialmente em referência às pseudo-geometrias do século XIX de Lobachevski e Riemann, os matemáticos tenham sido rompidos do hábito de indagar sobre a verdade dos axiomas. Com Grundlagen der Geometrie (1899), de Hilbert, esse desenvolvimento chegou a algo como uma conclusão.
Em contraste com a geometria, a análise é uma criação caracteristicamente nova da era moderna. A primeira geometria analítica surgiu, na qual Descartes fundiu a álgebra herdada dos índios por via dos árabes com a geometria grega. Nesse meio tempo, a análise real surgiu, começando com o cálculo infinitesimal de Newton e Leibniz.
O século XIX, de Cauchy a Weierstrass, foi o primeiro a tentar separar metodologicamente a nova análise completamente da geometria; a análise não deveria ser nada além de uma extensão da aritmética dos chamados números naturais 0, 1, 2, 3, … No entanto, aconteceu de forma diferente. Cantor introduziu o conceito de "conjunto" como um novo conceito fundamental, além dos números naturais. E com isso chegamos ao ponto que leva imediatamente a uma crise. Perguntemos a nós mesmos como, em geral, é possível introduzir um novo conceito fundamental na matemática. De acordo com o método axiomático, portanto, de acordo com o método da geometria, simplesmente se estabelece um sistema axiomático. Para esse propósito, temos para o conceito de conjunto o seguinte axioma: Se alguém emprega x. y,... como variáveis para conjuntos e se alguém escreve x ε y para a relação fundamental de x sendo um membro do conjunto y, então deve haver um conjunto y para cada forma de declaração A(x) tal que
x ε y ↔ A(x)
vale para todo x. Infelizmente, essa consideração leva a uma contradição, como pode ser visto se, seguindo Russell, se substitui A(x) por ¬x ε x. De
x ε y ↔ ¬x ε x para todo x
segue-se, quando x = y, que
y ε y ↔ ¬y ε y q.e.d.
A concepção axiomática da matemática, que foi realizada pela primeira vez para a teoria dos conjuntos por Zermelo, mas à qual também o próprio Russell chega bastante próximo, busca, por causa dessa contradição, modificações adequadas e consistentes do então chamado Komprehensionsaxiom acima. Parece que alguém realmente encontrou no sistema de Zermelo — ou na lógica dos tipos essencialmente equivalentes (não ramificada) de Russell — um sistema de axioma consistente para a teoria dos conjuntos. No entanto, com a criação de sistemas de axioma adequados em que a contradição acima ou similar não é derivável, a crise nos fundamentos que se originaram em tais contradições não foi removida. Ainda restava o problema de provar a consistência dos sistemas axiomáticos teóricos dos conjuntos. Aqui, com certeza, já existe uma diferenciação de pontos de vista. A matemática axiomática é representada pela grande maioria dos matemáticos de uma maneira que eu gostaria de chamar de “totalitária”. De acordo com eles, apenas as teorias axiomáticas devem pertencer legitimamente à matemática, todo o resto deve ser considerado como matemática pré-científica. Para este axiomaticismo total (se posso cunhar esta palavra incomum aqui) a questão sobre a prova da consistência dos axiomas da teoria dos conjuntos não tem sentido genuíno. A prova deve ser realizada dentro de uma teoria axiomática, e permanece a questão da consistência da nova teoria.
A libertação desse regresso infinito, que na minha opinião também significa o fim da crise nas fundações, deve-se a dois matemáticos, que em sua maior parte haviam atuado como oponentes no conflito sobre fundações, a saber, a Brouwer e a Hilbert. Diante do axiomaticismo total, Brouwer mostrou de forma convincente a possibilidade e a legitimidade das teorias não axiomáticas. O paradigma aqui é aritmética. Há, com certeza, uma aritmética axiomática, mesmo que não tenha aparecido antes de Dedekind e Peano. No entanto, independentemente disso e historicamente muito mais cedo, especificamente desde os tempos dos sumérios e dos egípcios, tem havido uma aritmética que não descreve seus objetos axiomaticamente, mas os gera através da construção.
Construir numerais começando com um traço ‘ e depois sempre adicionar um traço adicional (empregando assim a regra de construção n → n' ) não é uma ciência de objetos físicos, a saber, de montes de giz em forma de traço. Em vez disso, as declarações da aritmética construtiva são declarações apenas sobre as próprias regras de construção e não sobre sua realização física. Sei que, ao dizer isso, são abordadas questões sobre as quais as pessoas são usadas para brigar ad libitum de uma maneira puramente filosófica. Não afetado por essa briga, no entanto, permanece o fato de que todo matemático — mesmo o pensador axiomático totalitário — entende afirmações sobre regras de construção. Este fato se torna claro precisamente no desenvolvimento histórico da crise nas fundações. A discrepância entre as axiomáticas de Russell-Zermelo e a matemática construtiva de Brouwer levou Hilbert a mostrar como todas as afirmações da matemática axiomática podem ter um sentido construtivo. Isso é feito por meio do cálculo lógico moderno que se originou com Frege, Peano e Russell. Este cálculo, que geralmente é inadequadamente chamado de "cálculo de predicado elementar", consiste em um número finito de regras para a construção de formas de declaração. Se alguém toma os axiomas de uma teoria axiomática como os números iniciais, então pelas regras do cálculo lógico, são geradas precisamente todas as figuras que as declarações posteriores da teoria simbolizam. Dessa maneira, toda teoria axiomática se torna, por meio do cálculo lógico, um sistema de regras de construção e, dessa maneira, se torna parte da matemática construtiva.
Assim, do ponto de vista da matemática construtiva, a crise nos fundamentos se apresenta da seguinte forma: (l) Há uma aritmética construtiva na qual as contradições da teoria dos conjuntos ingênua ou axiomática não ocorrem, e (2) toda teoria axiomática pode ser tratada dentro da matemática construtiva como uma teoria de regras especiais de construção.
Essa prioridade que, portanto, pertence à matemática construtiva, em oposição à axiomática, eu gostaria de chamar de prioridade metodológica. Eu gostaria de chamar isso especialmente porque na construção da matemática a partir do fundo (como por exemplo na escola primária) deve-se sempre começar no início com regras de construção. Só mais tarde se pode passar para a matemática axiomática.
Entretanto, do lado do construtivismo também existem tendências totalitárias. Pode-se mostrar que a análise clássica pode ser substituída, de uma maneira que seja suficiente para todas as aplicações fora da matemática pura, por extensões construtivas adequadas da aritmética. Assim, parece óbvio considerar a análise axiomática simplesmente como supérflua ou mesmo sem sentido. Eu gostaria, no lugar disso, de propor que a teoria axiomática dos conjuntos seja considerada como um suplemento interessante à análise construtiva. Mesmo que se tenha chegado, pelo que são até certo ponto formas especulativas, a teorias axiomáticas cuja consistência ainda não pode ser provada, o matemático construtivo pode, no entanto, ocupar-se com questões de derivabilidade dentro de tais teorias.
O que se segue é, além disso, uma justificativa especial da ocupação com teorias axiomáticas. Nas teorias da matemática construtiva não se limita a construir figuras de acordo com regras dadas. Em vez disso, faz-se asserções sobre tais regras, que, com certeza, devem ser "provadas", mas que não podem ser provadas através de mera dedução de figuras. Em aritmética no qual os números são construídos como figuras de traço e no qual, por exemplo, a multiplicação é definida como uma construção que leva de dois números m e n (dados em uma sequência fixa) a um terceiro número m · n a asserção
m · n = n · m para todo m, n fornece um exemplo simples
A fim de refutar essa afirmação, basta derivar pelas regras dadas de primeira construção, deixe-nos dizer, m · n = p e então n · m = q, para um q diferente de p. A fim de provar esta asserção, ou seja, a fim de verificar que a afirmação nunca será refutada, deve-se — a princípio declarado completamente provisoriamente — fazer algo essencialmente diferente de construir números de acordo com regras dadas. Hilbert teria dito que, além disso, é preciso empregar "considerações materiais" (inhaltliche Überlegungen). Essas “considerações materiais”, como são usadas para provar m · n = n · m são, como uma questão de fato histórico, igualmente claras para todo matemático. E também o axiomaticista total não só sabe que, por conta dessas considerações, uma fórmula, m · n = n · m, é derivável derivável dentro de uma teoria axiomática adequada, mas ele sabe, por conta dessas considerações, que a asserção ∧m,n m · n = n · m da matemática construtiva não pode ser refutada.
Uma análise mais exata de uma prova como a de m · n = n · m não será necessária aqui. Basta estabelecer como resultado que, para a matemática construtiva, existem métodos de prova que não consistem na construção de figuras de acordo com as regras permitidas. No entanto — e agora a matemática axiomática entra em jogo novamente — há sempre a possibilidade de exibir métodos de prova que foram ganhos pelo trabalho em matemática construtiva subsequentemente como uma dedução lógica de axiomas. E.g. a fórmula m · n = n · m pode ser derivada do sistema de Peano. A aritmética metodologicamente construtiva conduz ao caminho; no entanto, na representação sistemática de seus teoremas, a aritmética axiomática é superior à aritmética construtiva. Essa superioridade eu gostaria de chamar de prioridade sistemática da matemática axiomática sobre a matemática construtiva.
De acordo com o teorema da incompletude de Gödel, nenhuma teoria axiomática fornece todos os teoremas da aritmética construtiva. No entanto, isso não afeta a prioridade sistemática da matemática axiomática. Toda prova de um teorema da matemática construtiva pode ser representada como uma dedução em uma teoria axiomática adequada. Assim, resumindo, encontramos a matemática construtiva e axiomática em uma interação frutífera. Metodologicamente, a matemática começa com construções. As provas de asserções sobre construções que foram inicialmente conduzidas de uma "maneira material" podem subsequentemente, entretanto, ser representadas sistematicamente em uma teoria axiomática. Considerada de fora, toda teoria axiomática é novamente um sistema de regras de construção, por causa disso, o jogo começa de novo.
Se essa inter-relação é continuamente mantida clara em mente e se é dada atenção contínua, na matemática contemporânea, a como as investigações particulares, sejam elas da teoria dos conjuntos, da análise, da lógica ou de qualquer campo, se encaixam nessa inter-relação, então, na minha opinião, não há razão para ainda falar de uma crise nos fundamentos. Naturalmente, é ruim que hoje ainda existam muitos teoremas da matemática moderna que são conhecidos apenas como consequências de sistemas axiomáticos cuja consistência ainda não é conhecida. No entanto, uma ignorância dos teoremas não é uma crise nas fundações.
Não se pode falar de tal crise nas fundações simplesmente porque ainda existem na matemática moderna, além das teorias axiomáticas, teorias construtivas que continuarão a existir mesmo que — contra todas as expectativas — absolutamente nada reste das axioimatizações. Além disso, ao concluir, gostaria de observar que a matemática construtiva também não é afetada pelo conflito sobre a validade da lógica clássica. De fato, isso também é um ponto de consideração apenas para a matemática axiomática. É novamente Brouwer a quem devemos o reconhecimento de que com a matemática construtiva também se segue uma lógica construtiva, que por sua vez tem uma prioridade metodológica sobre todas as axiomatizações.
Universidade de Kiel